Motif based hierarchical random graphs: structural properties and critical points of an Ising model

Abstract

A class of random graphs is introduced and studied. The graphs are constructed in an algorithmic way from five motifs which were found in [Milo R., Shen Orr S., Itzkovitz S., Kashtan N., Chklovskii D., Alon U., Science, 2002, 298, 824 – 827]. The construction scheme resembles that used in [Hinczewski M., A. Nihat Berker, Phys. Rev. E, 2006, 73, 066126], according to which the short-range bonds are non-random, whereas the long-range bonds appear independently with the same probability. A number of structural properties of the graphs have been described, among which there are degree distributions, clustering, amenability, small-world property. For one of the motifs, the critical point of the Ising model defined on the corresponding graph has been studied.Вводиться i вивчається клас випадкових графiв, збудованих в алгоритмiчний спосiб з п’яти мотивiв, знайдених у [Milo R., Shen-Orr S., Itzkovitz S., Kashtan N., Chklovskii D., Alon U., Science, 2002, 298, 824]. Конструкцiйна схема нагадує схему, застосовану у [Hinczewski M., A. Nihat Berker, Phys. Rev. E, 2006, 73, 066126], згiдно з якою короткосяжнi ребра є невипадковi, тодi як довгосяжнi ребра виникають незалежно iз однаковою ймовiрнiстю. Описано ряд структурних властивостей графiв, серед яких є розподiл ступенiв, кластернiсть, аменабiльнiсть, властивiсть тiсного свiту. Для одного з мотивiв вивчається критична точка моделi Iзiнга, визначеної на вiдповiдному графi.