Equilibrium and Nonequilibrium States of the Model Fröhlich–Peierls Hamiltonian

Abstract

The model Fröhlich–Peierls Hamiltonian for electrons interacting with phonons only in some infinite discrete modes is considered. It is shown that, in the equilibrium case, this model is thermodynamically equivalent to the model of electrons with periodic potential and free phonons. In the one-dimensional case, the potential is determined exactly in terms of the Weierstrass elliptic function, and the eigenvalue problem can also be solved exactly. Nonequilibrium states are described by the nonlinear Schrödinger and wave equations, which have exact soliton solutions in the one-dimensional case.Розглянуто модель Фрьоліха-Пайерлса для електронів, що взаємодіють з фононами тільки при певних дискретних модах. Показано, що у рівноважному випадку дана модель термодинамічно еквівалентна моделі електронів з періодичним потенціалом та вільних фононів. В одновимірному випадку потенціал знаходиться точно і виражається через еліптичну функцію Вейєрштрасса, а задача на власні значення теж має точний розв'язок. Нерівноважні стани описуються зв'язаними нелінійними рівняннями Шредінгера та хвильовим рівнянням, які в одновимірному випадку мають точні солітонні розв'язки.