Коливні системи з жорсткими легкими включеннями: асимптотика спектра та власних просторів

Abstract

Изучено асимптотическое поведение собственных значений и собственных функций сингулярно возмущенной краевой задачи для эллиптического оператора второго порядка. Задача моделирует собственные колебания упругой системы с конечным числом жестких и одновременно легких включений произвольной формы. Найдены главные члены асимптотики собственных элементов с учетом их кратности. Обоснование асимптотических формул базируется на равномерной резольвентной сходимости некоторого семейства неограниченных самосопряженных операторов.We study the asymptotic behavior of eigenvalues and eigenfunctions of a singularly perturbed boundaryvalue problem for a second-order elliptic operator. The problem simulates natural vibrations of an elastic system with finitely many light-weight inclusions of any shape. The leading terms of the asymptotic representations of eigenelements are constructed with regard for their multiplicities. The justification of the asymptotic formulas is based on the uniform resolvent convergence of a certain family of unbounded self-adjoint operators.