Глобальная разрешимость одного вырожденного полулинейного дифференциально-операторного уравнения

Abstract

Розглядається задача Кошi для абстрактного напiвлiнiйного диференцiального рiвняння d/dt (Au(t))+ Bu(t) = f(t, u(t)), t₀ − T < t < t₀ + T, де A, B — лiнiйнi замкненi, взагалi кажучи, виродженi оператори, що дiють з банахова простору X в банахiв простiр Y , f(t, u) — неперервно диференцiйовна функцiя. Вважається, що резольвента (A + µB)⁻¹ має в точцi µ = 0 полюс порядку не вище двох. Отримано глобальнi умови iснування та єдиностi розв’язку задачi Кошi. Результати застосовано до однiєї нелiнiйної виродженої початково-крайової задачi з частинними похiдними та до системи диференцiальноалгебраїчних рiвнянь нелiнiйного електричного ланцюгаThe Cauchy problem for an abstract semilinear differential equation d/dt (Au(t))+ Bu(t) = f(t, u(t)), t₀ − T < t < t₀ + T, is studied. Here A, B are closed degenerate linear operators from a Banach space X into a Banach space Y, f(t, u) is a continiously differentiable function. The resolvent (A + µB)⁻¹ is supposed to have a pole of order not greater then two in the point µ = 0. Global existence and uniqueness theorems for the Cauchy problem are obtained. The results are applied to an initial boudary-value problem for one nonlinear degenerate partial differential equation and to one system of differential-algebraic equations describing a nonlinear electric circuit.