Змішане формулювання методу скінченних елементів у теорії пружності з градієнтом деформації

Abstract

Однією з узагальнених теорій континууму, пов’язаних із розміром мікроструктури, є градієнтна теорія пружності Тупіна—Міндліна, яка дає змогу врахувати структурні неоднорідності та пошкодження матеріалу на мікрорівні. Особливість розв’язання варіаційних рівнянь градієнтної теорії полягає в урахуванні перших частинних похідних від компонентів тензора малих деформацій. Необхідною умовою збіжності розв’язання методом скінченних елементів є властивість апроксимувальних функцій забезпечувати неперервність переміщень та їхніх перших похідних на межі між елементами. Це призводить до ускладнення структури скінченних елементів та труднощів математичного й обчислювального характеру. У цій статті розглядається альтернативний підхід, згідно з яким розв’язання крайових задач градієнтної теорії пружності ґрунтується на застосуванні варіаційного формулювання щодо переміщень — деформацій — напружень та їхніх градієнтів. За таким формулюванням значно спрощується вибір апроксимувальних функцій, оскільки зникає необхідність використання скінченних елементів, що забезпечують неперервність перших похідних від переміщень між елементами. Для аналізу коректності змішаної апроксимації варіаційні рівняння змішаного методу перетворюються на еквівалентну форму щодо переміщень, деформацій та їхніх градієнтів. Досліджено збіжність змішаної апроксимації до точного розв’язання варіаційної задачі. На основі отриманих апріорних оцінок визначено умови, що забезпечують збіжність наближених розв’язків на основі змішаної апроксимації. Відзначено, що суперзбіжність перших похідних від переміщень на рівномірних та квазірівномірних розбиттях покращує точність обчислення деформацій та їхніх градієнтів, що дозволяє обґрунтувати збіжність змішаного методу навіть для простіших лінійних скінченних елементів, які використовуються для апроксимації переміщень. Достатні умови збіжності змішаного методу полягають у неперервній апроксимації полів переміщень скінченними елементами другого або вищого порядку апроксимації та неперервній апроксимації деформацій скінченними елементами не нижче першого порядку апроксимації, причому ці апроксимації взаємопов’язані між собою умовою розв’язання скінченновимірної задачі.One of the generalized continuum theories related to the microstructure scale is the Toupin-Mindlin gradient theory of elasticity, which allows one to take into account structural inhomogeneities and material damage at the micro level. The peculiarity of solving variational equations in gradient theory is the consideration of the first partial derivatives of the components of the small strain tensor. A necessary condition for the convergence of a solution based on the finite element method is the property of the approximation functions that ensures the continuity of displacements and their first derivatives at the boundary between elements. This study considers an alternative approach, according to which the solution of boundary value problems in gradient elasticity theory is based on the use of a variational formulation of displacements, deformations, stresses, and their gradients. This formulation greatly simplifies the choice of approximation functions, since there is no need to use finite elements that ensure the continuity of the first derivatives of displacements between elements. To analyze the correctness of the mixed approximation, the variational equations of the mixed method are transformed into an equivalent form with respect to displacements, strains, and their gradients. Based on the obtained a priori estimates, conditions that ensure the convergence of approximate solutions based on the mixed approximation are determined.