Модифікація методу Годунова розрахунку течій стисливого газу на основі зворотних сплайнів

Abstract

Запропоновано неявний чисельний алгоритм розв’язання рівнянь Нав’є—Стокса з урахуванням модифікації явного методу Годунова розрахунку нев’язких течій. Оригінальний метод Годунова спирається на повну постановку задачі розпаду розриву між сусідніми комірками, що зумовлює необхідність розв’язувати нелінійне рівняння для тиску ітераційним алгоритмом Ньютона з кожної грані скінченного об’єму. Для запобігання великим обчислювальним витратам запропоновано модифікацію методу Годунова розрахунку конвективних доданків. Основна ідея модифікації полягає в апроксимації зворотним кубічним або параболічним сплайном вихідної нелінійної залежності. З математичної точки зору замість знаходження кореня нелінійного рівняння досить знайти вільний коефіцієнт зворотного сплайна. Розглянутий підхід можна назвати “майже точним”, оскільки він зберігає точну постановку розпаду розриву та використовує наближений спосіб обчислення лише однієї величини — значення тиску на суміжній грані між сусідніми комірками в результаті розв’язання задачі Рімана. Запропонована модифікація розрахунку конвективних доданків для течій стисливого газу реалізована в рамках власного програмного пакету обчислювальної аеродинаміки, який протягом багатьох років розробляється та застосовується в Інституті транспортних систем і технологій Національної академії наук України. Проведено верифікацію запропонованого підходу в рамках розробленого раніше неявного чисельного алгоритму для двовимірних нестаціонарних осереднених за Рейнольдсом рівнянь Нав’є—Стокса в довільних координатах. Тестування виконано на задачі про взаємодію косого стрибка ущільнення з турбулентним примежовим шаром на плоскій пластині при числі Маха 5 незбуреного потоку. Порівняння з експериментальними даними щодо розподілу тиску і коефіцієнта, а також експериментальної та чисельної шлірен-фотографій, показує, що запропонована методика добре відтворює як окремі елементи структури взаємодії, що розглядається, так і загальні його параметри.An implicit numerical algorithm for solving Navier-Stokes equations is proposed, based on a modification of Godunov’s explicit method for calculating inviscid flows. The original Godunov method is based on a complete formulation of the problem of damping discontinuities between neighboring cells, which leads to the need to solve a nonlinear pressure equation using Newton’s iterative algorithm on each face of a finite volume. To prevent large computational costs, a modification of the Godunov method for calculating convective terms is proposed. The main idea of the modification is to approximate the original nonlinear dependence with an inverse cubic or parabolic spline. From a mathematical point of view, instead of finding the root of a nonlinear equation, it is sufficient to find the free coefficient of the inverse spline. The considered approach can be called “almost exact”, since it preserves the exact formulation of the discontinuity decay and uses an approximate method for calculating only one quantity — the pressure value on the adjacent face between adjacent cells as a result of solving the Riemann problem. The proposed modification of the calculation of convective terms for compressible gas flows is implemented within the framework of the proprietary software package for computational aerodynamics, which has been developed and applied for many years at the Institute of Transport Systems and Technologies of the National Academy of Sciences of Ukraine. The proposed approach was verified within the framework of the previously developed implicit numerical algorithm for two-dimensional unsteady Reynolds-averaged Navier-Stokes equations in arbitrary coordinates. The testing was conducted on the interaction of an oblique shock wave with a turbulent boundary layer on a flat plate at a Mach number of 5 for undisturbed flow. Comparison with experimental data on pressure distribution and coefficient, as well as experimental and numerical schlieren photographs, shows that the proposed method accurately reproduces both individual elements of the structure of the interaction under consideration and its general parameters.