Оптимизация размещения источников физического поля на фиксированные места

Abstract

Розглянуто задачі знаходження такого розміщення джерел фізичного поля на фіксовані посадкові місця, при якому максимальне із значень результуючого поля в точках заміру найменше. Наведено побудовану авторами раніше математичну модель цієї задачі, яка є мінімаксною задачею лінійного програмування з булевими змінними, і метод її розв’язання — «P-алгоритм». Побудовано нову математичну модель, яка є частково цілочисельною задачею лінійного програмування з булевими змінними. Для розв’язання даної задачі можуть використовуватись класичні методи оптимізації, наприклад, метод Ленд і Дойг. Отримана модифікація цього методу суттєво збільшила швидкість розв’язання даної задачі. Для ілюстрації можливості використання запропонованих методів наведено приклад розв’язання практичної задачі за допомогою модифікації методу Ленд і Дойг. Це обґрунтовано аналітично та підтверджено за допомогою чисельного експерименту, який показав, що застосування модифікації методу Ленд і Дойг значно пришвидшує розв’язання задачі порівняно з класичним, виконаним з використанням професійних бібліотек. Застосування паралельних обчислень в модифікації методу Ленд і Дойг збільшили швидкість його роботи ще майже на 60 %. Коректність наведених в роботі крайових задач випливає з отриманих авторами раніше апріорних оцінок у негативних нормах. Результати роботи легко поширюються на системи з точковою або з імпульсною дією.The problems of finding such placement of physical field sources at fixed landing places are considered, at which the maximum of the resulting field values at the measurement points is the smallest. The paper presents a mathematical model of this problem, which was previously developed by the authors, which is minimax linear programming problem with Boolean variables and method «P-algorithm» which resolves it. The new mathematical model which is partly an integer linear programming problem with Boolean variables was built. Classic optimization methods such as the Land and Doig method can be used to solve this problem. Obtained modification of this method significantly increased the speed of solving this problem. An example of how to solve a practical problem by using a Land and Doig method modification is an illustration of how to use the proposed methods. In this paper, it is analytically substantiated and verified by numerical experimentation, which showed that applying the Land and Doig method modification significantly speeds up the solution of the task compared to the classic professional libraries. The use of parallel computations in modifications of the Land and Doig method increased its speed by almost 60 %. The correctness of the boundary-value problems given in the work follows from the a priori estimates obtained by the authors in negative norms. The results of the work easily apply to systems with point or impulse action.