О матричном суммировании рядов Фурье

Abstract

Однією з найважливіших задач прикладної математики є підсумовування рядів, у тому числі лінійного матричного підсумовування рядів Фур’є. Дана проблема може виникати, наприклад, як при знаходженні найкращого наближення, так і при вирішенні ігрових задач динаміки, що ще більше підкреслює необхідність детального дослідження лінійних матричних методів підсумовування рядів Фур’є. Систематичні дослідження з теорії підсумовування рядів Фур’є за допомогою трикутних матриць розпочались під впливом робіт Б. Надя, С.М. Нікольського, С.О. Теляковського та інших математиків у середині XX століття та активно продовжуються і в наш час. Якщо говорити про дослідження прямокутних лінійних методів підсумовування рядів Фур’є, то тут багато питань залишилось відкритими. Тому в роботі розглянуто базові теоретичні поняття в області малоописаних, як в науковій, так і зарубіжній літературі, лінійних прямокутних матричних методів підсумовування рядів Фур’є. В результаті отриманих досліджень сформульовано переваги лінійних прямокутних матричних методів підсумовування рядів Фур’є в порівнянні з лінійними трикутними матричними методами підсумовування щодо застосування перших до вирішення ігрових задач динаміки. Розглянута задача для n-гармонічного рівняння в одиничному крузі дає можливість послідовно виписувати конкретні лінійні прямокутні методи підсумовування рядів Фур’є, а саме метод Абеля–Пуассона, метод Вейєрштрасса, методи бігармонічного і тригармонічного інтегралів Пуассона. Крім того, кожен з перерахованих вище лінійних прямокутних матричних методів підсумовування рядів Фур’є є розв’язком відповідного диференціального рівняння в частинних похідних (еліптичного типу). Цей факт дозволяє істотно розширити клас ігрових задач динаміки, які досліджуються на основі викладених у даній роботі теоретичних аспектів лінійних прямокутних матричних методів підсумовування.One of the most important problems of applied mathematics is the series summation, in particular, linear matrix summation of the Fourier series. This problem appears, e.g., in finding the best approximation as well as in solving game problems of dynamics, which even more highlights a necessity of the detailed investigation of linear matrix methods of summation of the Fourier series. Systematic research on the theory of summation of Fourier series using triangular matrices began under the influence of the works of B. Nagy, S.M. Nikol’skii, S.A. Telyakovskii and other mathematicians in the middle of the 20th century and are actively continuing in our time. If we talk about studies of rectangular linear methods of summation of the Fourier series, then many questions remain open. Therefore, in this work we consider the basic theoretical concepts in the field of linear rectangular matrix methods of summation of the Fourier series, such that are little discussed in scientific, including foreign, literature. The investigations gave us possibility to formulate advantages of linear rectangular matrix methods of summation of the Fourier series over linear triangular matrix methods of summation in the sense that first are applicable to solving game problems of dynamics. The problem considered in this paper for an n-harmonic equation in the unit circle enables us to write down successively specific linear rectangular methods of summation of the Fourier series, namely, the Abel–Poisson method, the Weierstrass method, and the methods of biharmonic and three-harmonic Poisson integrals. Moreover, each of the mentioned above linear rectangular matrix methods of summation of the Fourier series is a solution of a corresponding partial differential equation (elliptic-type). The latest novation could significantly expand the class of game problems of dynamics, such that can be investigated taking into account the theoretical aspects of linear rectangular matrix methods of summation of the Fourier series that are described in this paper.