Свойства больших уклонений эмпирических оценок в задаче стохастической оптимизации для однородного случайного поля

Abstract

Розглядається задача стохастичного програмування, де випадковим чинником є однорідне у вузькому розумінні випадкове поле, що задовольняє умові сильного перемішування з відповідним коефіцієнтом. Вихідна проблема апроксимується задачею мінімізації емпіричної функції, побудованої за спостереженнями однорідного випадкового поля. Наведено умови, за яких емпірична оцінка є консистентною, зокрема, накладаються обмеження на моменти мінімізуємої функції. При дослідженні великих відхилень використовуються теореми з функціонального аналізу, що дозволяють з оцінки великих відхилень емпіричної функції від первинної вивести оцінку великих відхилень точки мінімуму та мінімального значення емпіричної функції від відповідних характеристик первинної задачі. Зокрема, використовується поняття покращуючої функції, що характеризує поведінку мінімізовної функції в околі точки мінімуму. Використовується той факт, що функцію під знаком математичного сподівання при фіксованому другому аргументі можна вважати елементом простору неперервних функцій. Для спрощення задачі припускається, що дана функція належить опуклій компактній підмножині відповідного функціонального простору. Використовується теорія лінійних операторів, співвідношення двоїстості. Зокрема, використовується той факт, що спряженим до простору неперервних функцій є простір обмежених знакових мір. Використовуються відомі результати з теорії великих відхилень, зокрема, теорема про достатню ознаку оцінки верхньої границі великих відхилень. Використовуються поняття вимірно відокремлених випадкових величин та першої гіпотези гіперперемішування для однорідного поля. Доводиться допоміжне твердження про великі відхилення емпіричної оцінки в абстрактному просторі. При його доведенні прямокутник на площині розбивається на підмножини, відокремлені одна від одної. Потім з однорідності поля у вузькому розумінні та першої гіпотези гіперперемішування виводиться існування границі, що є достатньою умовою для оцінки великих відхилень.The paper is devoted to the consideration of a stochastic programming problem where the random factor is a homogeneous in a strict sense random field satisfying the strong mixing condition with the appropriate mixing coefficient. The first problem is approximated by the problem of minimization of the empirical function constructed on observations of the homogeneous random field. The conditions under which the empirical estimate is consistent are given, in particular, we have limits on the moments of the empirical function. When large deviations are investigated, some theorems from the functional analysis are used. In the theorems the estimate of large deviations of the empirical function from the former one implies the estimate of large deviations of the minimum point and the minimal value of the empirical function from analogous characteristics of the former problem. In particular, the notion of the conditioning function which describes the behavior of the minimized function in a neighborhood of a minimum point, is used. The fact that when the second argument is fixed, the function under the expectation sign can be considered as the element of the space of continuous functions, is used. For simplicity it assumes that the given function belongs to a convex compact subset of the appropriate functional space. The linear operators theory and the duality relation are used. In particular, the fact that a space of limited signed measures is dual to a space of continuous functions is used. The well-known results from large deviations theory, in particular, the theorem of a sufficient condition of the upper bound estimate for large deviations are applied. Notions of measurably separated random variables and the first hypermixing hypothesis for a homogeneous field are used. The auxiliary assertion on large deviations of empirical estimates in an abstract space is proved. In the proof the rectangle on the plane is divided on the subsets separated one from each other. Then the homogeneity of the field in a strict sense and the first hypermixing hypothesis imply the existence of the limit which is a sufficient condition for large deviations estimate.