Про пришвидшення оптимізаційних методів для задачі синтезу багатошарових оптичних покриттів

Abstract

Розглянуто п’ять способів для пришвидшення багатовимірного пошуку розв’язку задачі синтезу багатошарових оптичних покриттів за допомогою методів нульового та першого порядків. Перший спосіб — це використання аналітичної похідної для цільової функції якості багатошарового покриття. Він дозволяє точно (у межах комп’ютерної арифметики) обчислити значення градієнта гладкої цільової функції та узагальненого градієнта негладкої цільової функції. Перший спосіб потребує таку ж кількість арифметичних операцій, як і скінченно-різницеві способи обчислення градієнта та узагальненого градієнта. Другий спосіб — це використання пришвидшеного знаходження градієнта цільової функції за допомогою використання префікс- та суфікс-масивів у аналітичному способі обчислення градієнта. Цей прийом дозволяє зменшити кількість арифметичних операцій втричі для задач великої розмірності. Третій спосіб — це використання табуляції значень тригонометричних функцій для обчислення характеристичних матриць. Цей прийом зменшує час виконання операцій множення характеристичних матриць у десятки разів в залежності від характеристик комп’ютера. Для деяких архітектур комп’ютера ця перевага становить більше ніж 140 разів. Четвертий спосіб — це використання методу золотого перерізу для одновимірної оптимізації в задачах синтезу оптичних покриттів. Зокрема, при розв’язанні однієї часткової задачі показано, що метод тернарного пошуку потребує приблизно на 40 % більше часових затрат, ніж метод золотого перерізу. П’ятий спосіб — це використання ефективної реалізації множення двох матриць. Вона полягає у зміні порядку другого і третього циклів для загальновідомого методу множення двох матриць та фіксації у звичайній змінній значення елемента першої матриці. Це дозволяє суттєво прискорити виконання операції множення двох матриць. Для матриць розмірності 1000×1000 придшвидшення складає від 2 до 15 разів — залежно від характеристик комп’ютера.Five ways to speed up the multidimensional search in order to solve the problem of synthesis of multilayer optical coatings by using the methods of zero and first orders have been considered. The first way is to use an analytical derivative for the target quality function of the multilayer coating. It allows us to calculate accurately (within the computer arithmetic) the value of the gradient of a smooth objective function and generalized gradient of a non-smooth objective one. The first way requires the same number of arithmetic operations as well as finite-difference methods of calculating the gradient and the generalized gradient. The second way is to use a speedy finding of the objective function gradient using the prefix- and suffix-arrays in the analytical method of calculating the gradient. This technique allows us to reduce the number of arithmetic operations thrice for large-scale problems. The third way is the use of tabulating the values of trigonometric functions to calculate the characteristic matrices. This technique reduces the execution time of multiplication operations of characteristic matrices ten times depending on the computer’s specifications. For some computer architectures, this advantage is more than 140 times. The fourth method is the use of the golden section method for the one-dimensional optimization in the problems of synthesis of optical coatings. In particular, when solving one partial problem it is shown that the ternary search method requires approximately 40% more time than the golden section method. The fifth way is to use the effective implementation of multiplication of two matrices. It lies in changing the order of the second and third cycles for the well-known method of multiplying two matrices and fixing in a common variable value of the element of the first matrix. This allows us to speed up significantly the multiplication operation of two matrices. For matrices having 1000 x 1000 dimension the acceleration is from 2 to 15 times, depending on the computer's specifications.