The proof of an equivalence of D’alembert’s and Cauchy’s tests in the theory of numerical series

Abstract

In the paper it is shown that D’alembert’s test and Cauchy’s radical test are not independent one from another. It is proposed a transition scheme from one test to another and vice versa. The equivalence of the tests is proved for series with the monotonically decreasing terms. This fact is used to formulate a new test of the convergence for series with positive terms. The test is equivalent to Dalembert and Cauchy’s radical tests, but it has some advantages. It can be applied to any series within Cauchy-D’alembert’s theory.У статті показано, що ознака Даламбера і радикальна ознака Коші не є незалежними одна від другої. Запропоновано схему переходу від однієї ознаки до другої. Еквівалентність ознак доведена для рядів з монотонно регресними членами. Цей факт використан для формулювання нової ознаки збіжності рядів з додатними членами. Нова ознака еквівалентна ознакам Даламбера і Коші, але має деяку перевагу вона може застосовуватися до будь-яких рядів в рамках теорії Коші-Даламбера.В статье показано, что признак Даламбера и радикальный признак Коши не являются независимыми друг от друга. Предложена схема перехода от одного признака к другому. Эквивалентность признаков доказана для рядов с монотонно убывающими членами. Этот факт использован для формулировки нового признака сходимости рядов с положительными членами. Новый признак эквивалентен признакам Даламбера и Коши, но имеет некоторые преимущества – он может применяться к любым рядам в рамках теории Коши-Даламбера.