On the norms of the means of spherical Fourier sums

Abstract

The spherical Fourier sums of a periodic functions in m variables, the strong means and the strong integral means of these sums for p ≥ 1 are considered. In contrast to the one-dimensional case treated by Hardy and Littlewood, for m ≥ 2 the norms of the corresponding operators in the space L∞ are not bounded. The sharp order of growth of these norms is found. The upper and lower bounds differ by a factor depending only on the dimension m. A sufficient condition on the function ensuring the uniform strong p-summability of its Fourier series is given.Сферическая сумма Фурье периодической функции m переменных, ее сильные средние и сильные интегральные средние рассмотрены при p ≥ 1. В отличие от одномерного случая, рассмотренного Харди и Литвудом, при m ≥ 2 нормы соответствующих операторов в пространстве L∞ не ограничены. Найден точный порядок роста этих норм. Оценки сверху и снизу различаются на коэффициенты, зависящие лишь от размерности . Получено достаточное условие на функцию, обеспечивающее равномерную сильную суммируемость ее ряда Фурье.The present paper is the talk represented in International Conference «Harmonic analysis and approximation, VI», 12–18 September, 2015, Tsaghkadzor, Armenia.