Обратная задача Штурма–Лиувилля на графе в виде восьмерки

Abstract

Вивчається обернена задача для рівняння Штурма–Ліувілля на графі, що складається з двох квазіодновимірних петель однакової довжини, які мають спільну вершину. В якості спектральних даних розглядається множина власних значень усієї системи разом з множинами власних значень двох задач Діріхле для рівнянь Штурма–Ліувілля, що отримуються, якщо у вершині графа взяти умови повного відбиття. Одержано умови на три послідовності дійсних чисел, що дозволяють відновити пару відповідних кожній петлі дійсних потенціалів із L₂. Наведено алгоритм побудови всієї множини потенціалів, що відповідають даній трійці спектрів.The inverse problem for the Sturm – Liouville equation is studied on a graph consisting of two quasione-dimensional loops of the same length connected at a vertex. As spectral data, we consider the set of eigenvalues of the entire system together with the sets of eigenvalues of two Dirichlet problems for the Sturm – Liouville equations obtained by imposing the condition of total reflection at the vertex of the graph. We obtain conditions for three sequences of real numbers that enable one to reconstruct the pair of real-valued potentials from L₂ corresponding to each loop. An algorithm for the construction of the entire set of potentials corresponding to this triple of spectra is presented.