Hereditary Properties between a Ring and its Maximal Subrings

Abstract

We study the existence of maximal subrings and hereditary properties between a ring and its maximal subrings. Some new techniques for establishing the existence of maximal subrings are presented. It is shown that if R is an integral domain and S is a maximal subring of R, then the relation dim(R) = 1 implies that dim(S) = 1 and vice versa if and only if (S : R) = 0. Thus, it is shown that if S is a maximal subring of a Dedekind domain R integrally closed in R; then S is a Dedekind domain if and only if S is Noetherian and (S : R) = 0. We also give some properties of maximal subrings of one-dimensional valuation domains and zero-dimensional rings. Some other hereditary properties, such as semiprimarity, semisimplicity, and regularity are also studied.Вивчається існування максимальних підкілєць та спадкові властивості між кільцєм та його максимальними підкільцями. Наведено деякі нові методи встановлення існування максимальних підкілець. Показано, що якщо R — інтегральна область, а S — її максимальне підкільце, то із співвідношення dim(R)=1 випливає, що dim(S)=1, і навпаки тоді i тільки тоді, коли (S:R)=0. Як наслідок показано, що, якщо S є максимальним підкільцем дедекіндової області R, яка є інтегрально замкненою в R, то S є дедекіндовим підкільцем тоді i тільки тоді, коли S є нетеровим та (S:R)=0. Наведено також деякі властивості максимальних підкілець одновимірних областей нормування та нульвимірних кілець. Також вивчено деякі інші спадкові властивості, такі як напівпримарність, напівпростота та регулярність.