Слабонелинейная матричная краевая задача в случае параметрического резонанса

Abstract

Встановлено необхiднi i достатнi умови iснування розв’язкiв нелiнiйної матричної крайової задачi для системи звичайних диференцiальних рiвнянь у випадку параметричного резонансу. Побудовано збiжну iтерацiйну схему для знаходження наближень до розв’язкiв нелiнiйної матричної крайової задачi для системи звичайних диференцiальних рiвнянь у випадку параметричного резонансу. Як приклад застосування запропонованої iтерацiйної схеми, знайдено наближення до розв’язкiв перiодичної крайової задачi для рiвняння типу Рiккатi з параметричним збудженням. Для контролю точностi знайдених наближень до розв’язкiв перiодичної крайової задачi для рiвняння типу Рiккатi запропоновано нев’язки у вихiдному рiвняннi.We find necessary and sufficient conditions for existence of solutions of a nonlinear matrix boundaryvalue problem for a system of ordinary differential equations in the case of a parametric resonance. We construct a convergent iteration scheme for finding approximate solutions of the problem. As an example of an application of the proposed iteration scheme, we find approximations to solutions of a periodic boundary-value problem for a Riccati type equation with parametric excitation. To control the accuracy of the approximations that were found, we introduce residuals into the initial equation.