Функціональні класи розв’язків еліптичних рівнянь з нестандартними умовами зростання (за матеріалами наукового повідомлення на засіданні Президії НАН України 26 грудня 2024 р.)

Abstract

У доповіді наведено результати дослідження функціональних класів розв’язків еліптичних рівнянь з нестандартними умовами зростання. Ці класи розв’язків охоплюють нові випадки нерівномірно еліптичних двофазних рівнянь, вироджених двофазних рівнянь і рівнянь зі змінними показниками нелінійності. Доведено, що функції з цих класів є неперервними і задовольняють нерівності Гарнака. Однією з ключових новацій є розроблення універсального підходу для опису еліптичних рівнянь з нестандартними умовами зростання через точний варіант узагальненої нелогарифмічної умови неперервності для коефіцієнтів.The report presents the results of the research on functional classes of solutions of elliptic equations with non-standard growth conditions. These classes of solutions cover new cases of non-uniformly elliptic two-phase equations, degenerate two-phase equations, and equations with variable nonlinearity exponents. It is proved that functions from these classes are continuous and satisfy Harnack inequalities. One of the key innovations is the development of a universal approach to describe elliptic equations with non-standard growth conditions through a precise version of the generalized non-logarithmic continuity condition for the coefficients.