Свойства МНК-оценки корреляционной функции бипериодически коррелированных случайных процессов

Abstract

Риси повторюваності і стохастичності характерні для багатьох коливальних процесів, які зустрічаються в різних областях науки і техніки. Для їх аналізу успішно використовуються моделі у вигляді періодично корельованих випадкових процесів (ПКВП). ПКВП-підхід забезпечив більш ефективне вирішення задач перетворення сигналів у теорії звʼязку, технічної та медичної діагностики, в енергетиці, прогнозуванні геофізичних процесів. Для оцінювання кореляційних і спектральних характеристик ПКВП на підставі експериментальних даних розроблено когерентний і компонентний методи, метод найменших квадратів, методи лінійної фільтрації. Разом з тим при аналізі коливань як природного, так і штучного походження часто зустрічаються ситуації, коли стохастична повторюваність одного періоду взаємодіє зі стохастичною повторюваністю іншого. Для аналізу властивостей подвійної ритміки використовують її моделі у вигляді біперіодично корельованих випадкових процесів (БПКВП). Імовірнісні характеристики БПКВП можуть бути визначені за експериментальними даними за допомогою компонентного методу, однак при близьких комбінаційних частотах використання цього методу може призводити до значних похибок просочування. Як показано в роботі, цих помилок вдається уникнути, використовуючи метод найменших квадратів (МНК). Аналіз властивостей оцінок кореляційної функції проведено на підставі рішення матричного рівняння, що забезпечує необхідні умови мінімуму квадратичного функціоналу. Отримано вираз для зсуву оцінок, що виникає через попереднє визначення математичного очікування. Показано, що умовою асимптотичної незміщеності оцінок є втрата кореляційних звʼязків зі збільшенням зсуву. Для гаусових БПКВП ця умова забезпечує також середньоквадратичну збіжність оцінок. Вираз для дисперсії МНК-оцінки кореляційної функції порівняно з дисперсією компонентної містить додаткові складові, які залежать від комбінаційних частот і зменшуються до нуля при збільшенні довжини реалізації. Розглянуто приклад МНК-оцінювання кореляційної функції квадратурної БПКВП моделі і проведено порівняння ефективності компонентних і МНК-оцінок.Recurrence and stochasticity are the features of a lot of oscillation processes which occur in the different fields of science and techniques. Nowadays the models in the form of periodically correlated random processes are successfully used for the analysis of this processes. PCRP-approach provides more efficient solution of problems of signal transformation in signal and connection theory, technical and medical diagnosis, energetic, forecasting of geophysical processes. Coherent and component methods, least square method, linear filtration method have been developed for estimating covariance and spectral characteristics of PCRP on the basis of the experimental data. Meanwhile it often occur situations when stochastic recurrence of the one period interacts with stochastic recurrence of the other period when analyzing oscillations of the natural and artificial origin. The models of bi periodically correlated random processes (BPCRP) are used to analyze the features of double rhythmic. Probabilistic characteristics of BPCRP can be defined on the basis of the experimental data through the component method, but using of this method leads to significant leakage errors when combination frequencies are close. As it was shown in the paper that using of the least square method helps to avoid these errors. Analysis of the features of covariance function was made on the basis of the solution of matrix equation providing necessary conditions for the quadratic functional minimum. It was obtained the expression for estimation bias arising from the preliminary definition of the mathematical expectation. It was shown that the damping of correlations with the rising of bias is the condition of asymptotic unbiasedness of estimators. This condition also provides root mean square convergence of estimator for gauss BPCRP. Expression for the variance of LSM-estimator of the covariance function in comparison with the variance of component estimator contain additional components depending on combinative frequencies and tending to zero when the length of realization is rising. It was considered the example of LSM-estimator of the covariance function of quadrature BPCRP model and it was made the comparison of efficiency of component and LSM-estimators.