A generalization of first direct method of pursuit for differential inclusions

Abstract

To solve the pursuit problem in linear differential games, L.S. Pontryagin proposed two direct methods that have significant importance in the development of the theory of differential games and control theory under uncertainty. These methods were also useful in solving the control synthesis problem. Pontryagin's direct methods have proven to be an effective tool for solving pursuit-avoidance and control problems. They involve integrals that have several essential differences from the classical integral. One of the differences is the use of multivalued mappings. Pontryagin's direct method, based on the concept of a sign-changing integral, has no analog in the integration of real functions. The variable integral is defined using the integration of multivalued mappings and the geometric difference of sets (Minkowski difference). These operations complicate the computation of the variable integral. From this perspective, the integral used in the first direct method has a simpler structure. Therefore, the question arises about generalizing the first direct method of pursuit. This paper investigates the generalization of the first direct method for pursuit games described by differential inclusions, where F is a continuous multivalued mapping. This method will be called the modified first direct method of pursuit for differential inclusions. Specifically, the class of stroboscopic strategies and the trajectory of the system's motion are defined. For these classes of games, it is proven that if the initial point belongs to the modified first integral (the integral with a multivalued mapping present in the definition of the modified first direct method), this is a necessary and sufficient condition for the game to end at a fixed time in the class of stroboscopic strategies. The problem of calculating this integral is important. The paper also demonstrates that the union operations in the definition of the modified first integral can be restricted to the class of compact-valued mappings.Для вирішення задачі переслідування в лінійних диференціальних іграх Л.С. Понтрягін запропонував два прямі методи, які мають велике значення в розвитку теорії диференціальних ігор і теорії керування в умовах невизначеності. Це виявилося корисним і при вирішенні задачі синтезу керування. Прямі методи Понтрягіна зарекомендували себе як ефективний засіб вирішення проблем переслідування-ухилення та контролю. У них використовуються інтеграли, що мають низку істотних відмінностей від класичного інтеграла. Однією з відмінностей є використання багатозначного відображення. Прямий метод Понтрягіна, заснований на понятті знакозмінного інтеграла, не має аналогів в інтегруванні дійсної функції. Для визначення змінного інтеграла використовується інтегрування багатозначних відображень і геометрична різниця множини (різниця Мінковського). Ці операції ускладнюють обчислення змінного інтеграла. З цієї точки зору інтеграл, який використовується першим прямим методом, має більш просту конструкцію. Тому закономірно постає питання про узагальнення першого прямого способу переслідування. У статті досліджується узагальнення першого прямого методу для ігор переслідування, що описується диференціальними включеннями, де F є неперервним багатозначним відображенням. Цей метод будемо називати модифікованим першим прямим методом переслідування диференціальних включень. Зокрема, визначено клас стробоскопічних стратегій, траєкторію руху системи. Для цих класів ігор доведено, якщо вихідна точка належить модифікованому першому інтегралу (інтегралу з багатозначного відображення, який присутній у визначенні модифікованого першого прямого методу), то це є необхідною і достатньою умовою для завершення гри в фіксований момент часу в класі стробоскопічних стратегій. Проблема обчислення цього інтеграла є важливою. У цій статті також доведено, що операції об’єднання у визначенні модифікованого першого інтеграла можна звузити до класу компактнозначних відображень.