Крайовий ефект в оцінці точності сіткового методу для розв’язування диференціального рівняння з дробовою похідною

Abstract

Побудовано і досліджено сіткові методи розв"язування першої крайової задачі для диференціального рівняння з похідною Рімана Ліувілля дробового порядку. За допомогою функції Гріна крайову задачу зведено до інтегрального рівняння Фредгольма, для дискретизації якого застосовано інтерполяційні поліноми Лагранжа. Доведено вагові оцінки точності сіткових задач, які враховують вплив крайової умови Діріхле. Отримані результати свідчать про те, що точність наближеного розв"язку вища у примежових вузлах сітки, ніж в її внутрішніх вузлах. Теоретичні результати проілюстровано чисельним прикладом.

Построены и исследованы сеточные методы решения первой краевой задачи для дифференциального уравнения с производной Римана Лиувилля дробного порядка. При помощи функции Грина краевая задача сводится к интегральному уравнению Фредгольма, для дискретизации которого применяются интерполяционные полиномы Лагранжа. Доказаны весовые оценки точности сеточных задач, учитывающие влияние краевого условия Дирихле. Полученные результаты свидетельствуют о том, что в приграничных узлах сетки точность приближенного решения выше, чем в ее внутренних узлах. Теоретические результаты проиллюстрированы численным примером.

We construct and analyze grid methods for solving the first boundary-value problem for an ordinary differential equation with the Riemann–Liouville fractional derivative. Using Green’s function, we replace the boundaryvalue problem by the Fredholm integral equation, which is then discretized by means of the Lagrange interpolation polynomials. We prove the weight error estimates, which take into account the impact of the Dirichlet boundary condition. All the results give us clear evidence that the accuracy order of the grid scheme is higher near the endpointd of the line segment than in the inner points of the mesh set. We provide a numerical example to support the theory.