Точки сукупної неперервності та великі коливання

Abstract

Для топологических пространств X, Y и метрического пространства Z введен новый класс N(X×Y,Z) отображений f:X×Y→Z, содержащий все горизонтально квазинепрерывные и непрерывные относительно второй переменной отображения, и установлено, что для каждого отображения f из этого класса и произвольного множества B исчислимого типа в Y множество CB(f) всех точек х∈X таких, что f является совокупно непрерывным в каждой точке множества {x}×B, есть остаточным в X. Кроме того, доказано, что если X — беровское пространство, Y — метризуемый компакт, Z — метрическое пространство f∈N(X×Y,Z), то для каждого ε>0 проекция на X множества Dε(f) всех тех точек p∈X×Y, в которых колебание ωf(p)≥ε, является замкнутым и нигде не плотным множеством в X.

For topological spaces X and Y and a metric space Z, we introduce a new class N(X×Y,Z) of mappings f: X × Y → Z containing all horizontally quasicontinuous mappings continuous with respect to the second variable. It is shown that, for each mapping f from this class and any countable-type set B in Y, the set C B (f) of all points x from X such that f is jointly continuous at any point of the set {x} × B is residual in X: We also prove that if X is a Baire space, Y is a metrizable compact set, Z is a metric space, and f∈N(X×Y,Z), then, for any ε > 0, the projection of the set D ε(f) of all points p ∈ X × Y at which the oscillation ω f (p) ≥ ε onto X is a closed set nowhere dense in X.