On exact solutions of the nonlinear heat equation

Abstract

A method for construction of exact solutions to the nonlinear heat equation ut = (F (u)ux)x + G (u)ux + H (u), which is based on the ansatz p(x) = ω₁(t) φ(u) + ω₂(t), is proposed. The function p(x) is a solution of the equation (p′)² = Ap² + B, and the functions ω₁(t), ω₂(t) and ϕ(u) can be found from the condition that this ansatz reduces the nonlinear heat equation to a system of two ordinary differential equations with unknown functions ω₁(t) and ω₂(t).

Запропоновано метод побудови точних розв’язків нелінійного рівняння теплопровідності ut = (F(u)ux)x + + G(u)ux + H(u), який ґрунтується на використанні підстановки p(x) = ω₁(t) φ(u) + ω₂(t), де функція p(x) є розв’язком рівняння (p′)² = Ap² + B, а функції ω₁(t), ω₂(t) та ϕ(u) знаходяться з умови, що дана підстановка редукує рівняння до системи двох звичайних диференціальних рівнянь з невідомими функціями ω₁(t) та ω₂(t).

Предложен метод построения точных решений нелинейного уравнения теплопроводности ut = (F(u)ux)x + + G(u)ux + H(u), основанный на использовании подстановки p(x) = ω₁(t) φ(u) + ω₂(t), где функция p(x) является решением уравнения (p′)² = Ap² + B, а функции ω₁(t), ω₂(t) и ϕ(u) находятся из условия, что данная подстановка редуцирует уравнение к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений с неизвестными функциями ω₁(t) и ω₂(t).