Эволюционные уравнения Шредингера высоких порядков и некоторые их решения для волн на глубокой воде

Abstract

Рассмотрены нелинейные уравнения Шредингера (НУШ) III-V порядков для нелинейных групп волн на глубокой воде, описывающие пространственно-временную эволюцию комплексной амплитуды первой несущей гармоники в потенциале скоростей волновых движений. НУШ-уравнения систематически получены в рамках решения нелинейной краевой задачи теории волн на глубокой воде методом многих масштабов (МММ) для первых пяти порядков по крутизне волн и в предположении умеренной нерегулярности и трехмерности групп волн, а также с учетом действия поверхностного давления ветрового потока. Рассмотрены структура и различные формы операторов НУШ-уравнений при преобразовании независимых медленно меняющихся пространственно-временных переменных (масштабов). Приведены также ассоциированные с НУШ-уравнениями зависимости, описывающие изменения комплексной амплитуды по глубине жидкости, а также краевые задачи для потенциала дрейфового поля скоростей, индуцированного групповой структурой волн. Рассмотрен класс стационарных решений, который включает как хорошо известные солитонные и периодические решения, так и новые решения в виде функций Вейерштрасса.

Розглянутi нелiнiйнi рiвняння Шредiнгера (НРШ) III-V порядкiв для нелiнiйних груп хвиль на глибокiй водi, якi описують просторово-часову еволюцiю комплексної амплiтуди першої несучої гармонiки в потенцiалi швидкостi хвильового руху. НРШ-рiвняння систематично отриманi в рамках розв`язання нелiнiйної граничної задачi теорiї хвиль на глибокiй водi методом багатьох масштабiв для перших п'яти порядкiв по крутостi хвиль i з урахуванням помiрної нерегулярностi й тривимiрностi груп хвиль, а також дiї поверхневого тиску вiтрового потоку. Розглянутi структура та рiзноманiтнi форми операторiв НРШ-рiвнянь при перетвореннi незалежних просторово-часових змiнних (масштабiв), якi повiльно змiнюються. Наведенi також асоцiйованi з НРШ-рiвняннями залежностi, що описують змiну комплексної амплiтуди по глибинi рiдини, а також граничнi задачi для потенцiалу дрейфового поля швидкостi, визваного груповою структурою хвиль. Розглянуто клас стацiонарних розвя'зкiв, який включає як добре вiдомi солiтоннi та перiодичнi розв'язки, так i новi розв'язки у виглядi функцiй Вейерштраса.

Nonlinear Schredinger equations (NLS) of III to V-th orders for deep water surface wave groups, describing temporal and spatial evolution of complex amplitude of fundamental harmonic in velocity potential of wave motion are considered. NLS-equations have been systematically derived for the first five orders in the framework of the solution of nonlinear boundary value probrem for deep water wavesof finite amplitude by using multi scale technique. Nonlinearity, irregularity and 3D effects of wave motion and surface wind pressure action ware included into the consideration. Different combinations of independent slowly varying variables (scales) and corresponding versions of NLS-equations have been considered and discussed. In addition to NLS-equations, linear equations for complex amplitude in fluid domain and linear boundary value problems for drift velocity potential, induced by amplitude modulation of wave motion and associated with NLS-equations, ware considered too. Permanent solutions including not only wall-known solitary and periodical solutions but some new solutions in elliptic Vejerstrass functions have been derived.