Явный вид распределения избранных двумерных и трехмерных статистик (0, 1)-последовательности

Abstract

Розглянуто сумісні розподіли заданого числа 2-ланцюжків та заданого числа 3-ланцюжків фіксованого вигляду випадкової бітової послідовності, які дозволяють здійснювати статистичний аналіз локальних ділянок цієї послідовності. У якості 2-ланцюжків виступають всі конфігурації, що складаються з двох поспіль або нулів, або одиниць бітової послідовності заданої довжини. У свою чергу, 3-ланцюжками являються всі конфігурації, що складаються з трьох поспіль або одиниць (за умови, що 2-ланцюжки є нульовими), або нулів (за умови, що 2-ланцюжки одиничні), а також в якості 3-ланцюжків розглядаються всі конфігурації, що складаються або з трьох поспіль цифр: один, нуль і один (за умови, що 2-ланцюжки нульові), або з трьох поспіль цифр: нуль, один і нуль (за умови, що 2-ланцюжки одиничні). Встановлено явні вирази двовимірних і тривимірних сумісних розподілів подій, що відображають кількість деяких комбінацій зазначених ланцюжків у скінченній випадковій бітовій послідовності. Одне з основних припущень полягає у тому, що нулі та одиниці у бітової послідовності — це незалежні однаково розподілені випадкові величини. Доведення формул для розподілів зазначених подій побудовані на підрахунку числа відповідних сприятливих подій за умови, що бітова послідовність містить фіксовану кількість нулів і одиниць. Як приклади використання явних виразів сумісних розподілів наведені таблиці, в яких розміщені значення ймовірностей перерахованих вище подій для випадкової бітової послідовності довжини 40 (табл. 1–3) та довжини 24 (табл. 4) для деяких фіксованих значень числа 2-ланцюжків і числа 3-ланцюжків у припущенні, що нулі та одиниці з'являються незалежно і рівноймовірно. Табл. 1–3 проілюстровані бульбашковими діаграмами. Знайдені формули можуть становити інтерес для задач тестування локальних ділянок, які формуються на виході генераторів псевдовипадкових чисел, для деяких задач захисту інформації від несанкціонованого доступу, а також в інших сферах, де виникає необхідність в аналізі бітових послідовностей.

The joint distributions of the given number of 2-chains and the given number of 3-chains of a fixed form of a random bit sequence are considered, which allow performing a statistical analysis of local sections of this sequence. All configurations consisting of two consecutive zeros or ones of a bit sequence of a given length act as 2-chains. In turn, 3-chains are all configurations consisting of three consecutive either ones (provided that the 2-chains are zero) or zeros (provided that the 2-chains are one), as well as 3-chains all configurations are considered that consist either of three consecutive digits: one, zero and one (provided that the 2- chains are zero), or of three consecutive digits: zero, one and zero (provided that the 2- chains are one). The paper establishes explicit expressions for two-dimensional and three-dimensional joint distributions of events, reflecting the number of some combinations of the indicated chains in a finite random bit sequence. One of the basic assumptions is that zeros and ones in a bit sequence are independent, equally distributed random variables. The proofs of the formulas for the distributions of these events are based on counting the number of corresponding favorable events, provided that the bit sequence contains a fixed number of zeros and ones. As examples of using explicit expressions of joint distributions, tables are given in which the values of the probabilities of the events listed above for a random bit sequence of length 40 (tables 1–3) and length 24 (table 4) are given for some fixed values of the number of 2-chains and the number 3-chains under the assumption that zeros and ones appear independently and uniformly. For clarity, tables 1‑3 are illustrated with bubble charts. The established formulas may be of interest for the problems of testing local sections formed at the output of pseudo-random number generators, for some problems of protecting information from unauthorized access, as well as in other areas where it becomes necessary to analyze bit sequences.