Функції Гріна хвильового рівняння й рівняння Гельмгольца для нескінченного прямого жорсткостінного каналу кругового поперечного перерізу з осередненою течією

Abstract

Побудовані функції Гріна тривимірного хвильового рівняння й тривимірного рівняння Гельмгольца для нескінченного прямого жорсткостінного каналу кругового поперечного перерізу з осередненою течією. Ці функції записуються у вигляді відповідних рядів за акустичними модами каналу і є періодичними по азимутальній координаті та симетричними відносно осьового перерізу розташування точкового джерела. У функції Гріна хвильового рівняння кожен член ряду є сумою прямої й зворотньої хвиль, які поширюються на відповідній моді каналу вниз і вгору за течією від джерела. У побудованих функціях Гріна в явному вигляді відображені ефекти осередненої течії, які стають вагомішими зі зростанням числа Маха течії. Зокрема, це зумовлює появу й подальше збільшення асиметрії функцій відносно поперечного перерізу розташування точкового джерела. У випадку ж відсутності осередненої течії побудовані функції Гріна симетричні відносно поперечного перерізу джерела і співпадають з відомими функціями Гріна для досліджуваного каналу.

Построены функции Грина трехмерного волнового уравнения и трехмерного уравнения Гельмгольца для бесконечного прямого жесткостенного канала кругового поперечного сечения с осредненным течением. Эти функции записываются в виде соответствующих рядов по акустическим модам канала. Они периодичны по азимутальной координате и симметричны относительно осевого сечения расположения точечного источника. В функции Грина волнового уравнения каждый член ряда является суммой прямой и обратной волн, распространяющихся на соответствующей моде канала вниз и вверх по течению от источника. В построенных функциях Грина в явном виде отражены эффекты осредненного течения, которые становятся более существенными с увеличением числа Маха течения. В частности, это приводит к появлению и дальнейшему увеличению асимметрии функций относительно поперечного сечения, в котором расположен источник. В случае же отсутствия осредненного течения построенные функции Грина симметричны относительно поперечного сечения источника и совпадают с известными функциями Грина для исследуемого канала.

The Green’s functions of three-dimensional wave and Helmholtz equations for an infinite straight rigid-walled channel of circular cross-section with a mean flow are constructed. These functions are written in terms of the corresponding series of the channel acoustic modes. They are periodic in azimuthal coordinate and symmetric about the axial section of the point source location. In the Green’s function of the wave equation, each term of the series is a sum of the direct and reverse waves propagating on the corresponding channel mode downstream and upstream of the source. In the obtained Green’s functions, the mean flow effects are directly reflected, that become more significant as the flow Mach number increases., In particular, this leads to occurrence and further growth of the functions’ asymmetry about the cross-section of the source location. In the case of absence ùà mean flow, the obtained Green’s functions are symmetric about source cross-section and coincide with known Green’s functions for the considered channel.