Узагальнені двопараметричні інтеграли Лебега - Стільтьєса та їх застосування до дробових броунівських полів

Abstract

Розглянуто двопараметричні дробові інтеграли і дробові похідні за Вейлем, Ліувіллем, Маршо та обгрунтовано деякі їх властивості. Введено поняття узагальненого двопараметричного інтеграла - Лебега — Стільтьєса, наведено його властивості та формули для обчислення у випадку диференційовних функцій. Розглянуто основні властивості двопараметричпих дробових інтегралів та похідних від гельдерових функцій. Окремо вивчено узагальнені двопараметричиі інтеграли Лебега - Стільтьєса для інтегратора обмеженої варіації. Доведено, що для гелвдерових функцій вказані інтеграли можна обчислити як границі інтегральних сум. Як приклад розглянуто узагальнені двопараметричиі інтеграли від дробових броунівських полів.

We consider two-parameter fractional integrals and Weyl, Liouville, and Marchaut derivatives and substantiate some of their properties. We introduce the notion of generalized two-parameter Lebesgue-Stieltjes integral and present its properties and computational formulas for the case of differentiable functions. The main properties of two-parameter fractional integrals and derivatives of Hölder functions are considered. As a separate case, we study generalized two-parameter Lebesgue-Stieltjes integrals for an integrator of bounded variation. We prove that, for Hölder functions, the integrals indicated can be calculated as the limits of integral sums. As an example, generalized two-parameter integrals of fractional Brownian fields are considered.