Математична модель деформування пружного півпростору за дії нормального навантаження на його границі

Abstract

Припущення про рівність нулю дотичних напружень на границі пружного півпростору при її гладкому нормальному навантаженні зумовлює парадокс взаємопроникнення точок матеріального континууму, якщо об’ємна деформація |Θ|>0 . При цьому з’ясовано, що для уникнення цієї фізичної некоректності досить наділити границю певними реологічними властивостями, які уможливлюють регулювання її вертикальних переміщень розподілом на ній за певним законом дотичних напружень. Доведено, що завжди існує такий закон розподілу дотичних напружень, за якого вертикальні переміщення границі є нульовими за довільного нормального навантаження. Ця ідея виявилась слушною у задачах зі змішаними крайовими умовами, оскільки дала можливість виконати додаткову фізичну умову неперервності компонент вектора Ω=0,5 rot ū на лінії поділу крайових умов і цим забезпечити існування фізично коректного розв’язку, який узгоджується з обмеженнями лінійної моделі твердого деформівного тіла. Якщо зовні області навантаження вимагати рівності нулю дотичних напружень, то на межі області навантаження вони стають сингулярними з кореневою особливістю, так як і компоненти вектора Ω. При цьому виникає парадокс взаємопроникнення внаслідок розриву кутів повороту нормальних елементів навколо лінії поділу крайових умов.

The assumption on vanishing of the tangential stresses on the boundary of the elastic half space under its smooth normal load causes a paradox of infiltration of points of material continuum whenever the dilatational strain |Θ|>0 . We demonstrate that, in order to avoid this physical ill-posedness, it is sufficient to assume that the boundary of the solid satisfies some flow properties that allow us to regulate its vertical displacements by means of distribution of tangential stresses on it, with respect to a certain law. It is proved that there always exists a distribution law such that the vertical displacements of the boundary are equal to zero under arbitrary normal load. This idea turned out to be meaningful in the problems with mixed boundary conditions, because it made possible to fulfill an additional physical condition of continuity of components of the vector Ω=0,5 rot ū on the separation curve of boundary conditions and therefore to ensure existence of physically correct solution that agrees with restrictions of linear model of solid deformable body. If we require that the tangential stresses vanish outside the load domain, then, on the boundary of the load domain, they became singular with kernel singularity, as well as components of the vector Ω. Here, a paradox of infiltration occurs, because of discontinuity of rotation angles of the normal elements around the separation curve of boundary conditions.

Предположение о равенстве нулю касательных напряжений на границе упругого полупространства при ее гладкой нормальной нагрузке предопределяет парадокс взаимопроникновения точек материального континуума, если объемная деформация |Θ|>0 . Показано, что для избегания этой физической некорректности достаточно предположить, что граница тела обладает реологическими свойствами, которые позволяют регулировать ее вертикальные перемещения распределением на ней по определенному закону касательных напряжений. Доказано, что всегда существует такой закон распределения касательных напряжений, который делает вертикальные перемещения границы нулевыми при произвольной нормальной нагрузке. Эта идея оказалась состоятельной в задачах со смешанными краевыми условиями, поскольку дала возможность выполнить дополнительное физическое требование непрерывности компонент вектора Ω=0,5 rot ū на линии раздела краевых условий и этим обеспечить существование физически корректного решения, которое согласовано с ограничениями линейной модели деформируемого твердого тела. Если вне области нагрузки потребовать равенства нулю касательных напряжений, то на границе области нагрузки они становятся сингулярными с корневой особенностью так же, как и компоненты вектора Ω. При этом имеет место парадокс взаимопроникновения вследствие разрыва углов поворота нормальных элементов вокруг линии раздела краевых условий.