Дефектные значения решений дифференциальных уравнений c точкой ветвления

Abstract

Вивчається розподіл значень розв'язків алгебраїчного диференціального рівняння P(z,f,f',...,f(s))=0, коефіцієнти i розв'язки якого мають точку розгалуження в нескінченності (наприклад, логарифмічну особливу точку). Показано, що якщо a∈C (a — дефектне значення розв'язку f цього рівняння) i f зростає швидше за коефіцієнти, то справджується тотожність P(z,a,0,...,0)≡0,z∈{z:r0≤|z|<∞}. Якщо P(z,а,0,...,0) не перетворюється тотожно в нуль за сукупністю змінних z і a, то лише скінченне число значень а може бути дефектним значенням для розв'язків f∈Mb скінченного порядку.

We study the distribution of values of the solutions of an algebraic differential equation P(z, f, f′, . . . , f (s)) = 0 with the property that its coefficients and solutions have a branching point at infinity (e.g., a logarithmic singularity). It is proved that if a ∈ ℂ is a deficiency value of f and f grows faster than the coefficients, then the following identity takes place: P(z, a, 0, . . . , 0) ≡ 0, z ∈ {z : r 0 ≤ |z| < ∞}. If P(z, a, 0, . . . , 0) is not identically equal to zero in the collection of variables z and a, then only finitely many values of a can be deficiency values for the solutions f ∈ M b with finite order of growth