On blow-up solutions and dead zones in semilinear equations

Abstract

We study semilinear elliptic equations of the form div(A(z)∇u) = f(u) in Ω⊂ C, where A(z) stands for a symmetric 2×2 matrix function with measurable entries, det A =1, and such that 1/ K |ξ|² ≤ 〈A(z)ξ,ξ〉 ≤ K |ξ|², ξ ∈ R², 1≤ K < ∞. Making use of our Factorization theorem, we give some explicit solutions for the above equation if f = e^u or f = e^q, when matrices A(z) are chosen in an appropriate form.

Досліджено напівлінійне диференціальне рівняння виду div(A(z)∇u)=f(u) в Ω⊂C, де A(z) — симетрична 2×2 матрична функція з вимірними коефіцієнтами, detA=1, і така, що 1/K|ξ|2⩽⟨A(z)ξ,ξ⟩⩽K|ξ|2,ξ∈R2,1⩽K<∞. Із застосуванням теореми про факторизацію, доведену нами раніше, наведено явні розв’язки для зазначеного рівняння, якщо матриці A(z) обрані належним чином і f=e^u або f=u^q.

Исследовано полулинейное дифференциальное уравнение вида div(A(z)∇u)=f(u) в Ω⊂C, где A(z) симметричная 2 Ч 2 матричная функция с измеримыми коэффициентами, detA =1 и такая, что 1/K|ξ|2⩽⟨A(z)ξ,ξ⟩⩽K|ξ|2,ξ∈R2,1⩽K<∞. С применением теоремы о факторизации, доказанной нами ранее, приведены явные решения для указанного уравнения, если матрицы A(z) выбраны надлежащим образом и f=e^u или f=u^q.