Continuity with respect to initial data and absolute-continuity approach to the first-order regularity of nonlinear diffusions on noncompact manifolds

Abstract

We study the dependence with respect to the initial data for solutions of diffusion equations with globally non-Lipschitz coefficients on noncompact manifolds. Though the metric distance may be not everywhere twice differentiable, we show that under some monotonicity conditions on coefficients and curvature of manifold there are estimates exponential in time on the continuity of diffusion process with respect to the initial data. These estimates are combined with methods of the theory of absolutely continuous functions to achieve the first-order regularity of solutions with respect to the initial data. The suggested approach neither appeals to the local stopping time arguments, nor applies the exponential mappings on tangent space, nor uses embeddings of manifold to linear spaces of higher dimensions.

Досліджено залежність за початковими умовами для розв'язків дифузійних рівнянь з глобально неліпшицевими коефіцієнтами на некомпактних багатовидах. Хоча функція метричної відстані може бути не скрізь двічі диференційовною, показано, що за певних умов монотонності на коефіцієнти та кривину багатовиду існують експоненціальні за часом оцінки на неперервність дифузійного процесу за початковими умовами. У поєднанні з методами теорії абсолютно неперервних функцій ці оцінки приводять до першого порядку регулярності розв'язків за початковими умовами. Запропонований підхід не використовує техніку моментів часу виходу процесу з локальних координатних околів, а також експоненціальних відображень з дотичного простору або вкладення багатовиду до лінійного простору більшої розмірності.