Устранение особенностей и аналоги теоремы Сохоцкого - Вейерштрасса для Q-отображений

Abstract

Доведено, що відкрите дискретне Q-відображення f:D→Rn має неперервне продовження в ізольовану межову точку, якщо функція Q(x) має скінченне середнє коливання, або логарифмічні сингулярності порядку не вище, ніж n - 1 у цій точці. Більш того, продовжене відображення також є відкритим, дискретним і Q-відображенням. Як наслідок, отримано аналог добре відомої теореми Сохоцького - Вейєрштрасса щодо Q-відображень. Зокрема, доведено, що в околі суттєвої особливої точки відкрите дискретне Q-відображення набуває будь-якого значення нескінченно багато разів, крім, можливо, деякої множини, що має ємність нуль.

We prove that an open discrete Q-mapping f:D→Rn has a continuous extension to an isolated boundary point if the function Q(x) has finite mean oscillation or logarithmic singularities of order at most n – 1 at this point. Moreover, the extended mapping is open and discrete and is a Q-mapping. As a corollary, we obtain an analog of the well-known Sokhotskii–Weierstrass theorem on Q-mappings. In particular, we prove that an open discrete Q-mapping takes any value infinitely many times in the neighborhood of an essential singularity, except, possibly, for a certain set of capacity zero.