Проекционный метод решения задачи о собственных колебаниях жестко защемленной пластинки

Abstract

Рассмотрена задача о собственных колебаниях упругой жестко закрепленной пластинки. Предложен проекционный метод построения ее решений, основанный на использовании метода Трефтца решения задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца и метода наименьших квадратов для решения вспомогательной спектральной краевой задачи с параметром в краевом условии. В результате построены решения задачи, точно удовлетворяющие уравнению внутри области и приближенно (с точностью до шести-восьми значащих цифр) - краевым условиям задачи. В качестве примера определены 24 первые собственные значения и собственные функции задачи для эллиптической и суперэллиптической пластинок.

Розглянуто задачу про власні коливання пружної жорстко закріпленої пластинки. Запропоновано проекційний метод побудови її розв'язків, який грунтується на використанні методу Трефтца розв'язування задачі Діріхле для рівняння Гельмгольца й методу найменших квадратів для розв'язування допоміжної спектральної крайової задачі з параметром у крайовій умові. В результаті побудовано розв'язки задачі, які точно задовольняють рівняння всередині області й наближено (з точністю до шести-восьми значущих цифр) - крайові умови задачі. Як приклад визначено 24 перші власні значення й власні функції задачі для еліптичної та супереліптичної пластинок.

The paper deals with the problem on natural vibrations of the elastic plate with a fixed boundary. To solve this problem a projective method is suggested that is based on the Trefts method for solving the Dirichlet problems for the Helmholtz equation and r.m.s. value method for solving auxiliary spectral boundary problems with a parameter in the boundary condition. As a result, the solution has been developed that exactly satisfies the equation inside the domain and approximately (to within six-eight significant figures) - boundary conditions of the problem. As an example, the first 24 eigenvalues and eigenfunctions in the problem for the elliptic and superelliptic plates have been specified.