Covariant amplitude decomposition in relativistic fermion scattering problems

Abstract

A parameterization of on-mass-shell relativistic fermion scattering amplitudes by a set of 4 covariant amplitudes is proposed, which in the non-relativistic limit turn to coefficients of the matrix amplitude decomposition over the unity and Pauli matrices, and in the ultra-relativistic limit – to symmetrized helicity amplitudes. In the general rela-tivistic case, the covariant amplitudes express as spurs of the matrix amplitude supplemented by γ-matrix factors not exceeding 3-rd degree. Algebraic computation of such spurs provides a comparatively short and fully covariant approach for calculation of fermion scattering processes, allowing account for all polarization observables. For extension of the method to problems of two-fermion scattering, when permitted are both ways of transition 1→3, 2→4 and 1→4, 2→3, relativistic on-mass-shell Fierz relations interconnecting the two possible definitions of transition amplitudes are derived, under simplifying assumptions of equal fermion masses and scattering elasticity. Eigenfunctions of the on-shell Fierz relations are constructed, and advantages of their use for automatic account for contributions from cross-diagrams are demonstrated with the example of Møller scattering.

Запропоновано параметризацію амплітуди розсіяння релятивістського ферміона на масовій поверхні набором 4 коваріантних амплітуд, які в нерелятивістському наближенні переходять у коефіцієнти розкладення матричної амплітуди по одиничній матриці та матрицям Паулі, а в ультререлятивістській границі – у симетризовані спіральні амплітуди. В загальному релятивістському випадку коваріантні амплітуди виражаються через шпури від матричної амплітуди з додатковими γ-матричними факторами, ступінь яких не перевищує 3. Алгебраїчне обчислення таких шпурів дає порівняно короткий та повністю коваріантний шлях розрахунку процесів розсіяння ферміонов, з урахуванням усіх поляризацій. Для узагальнення методу до задач розсіяння двох ферміонів, в умовах коли можливі обидва шляхи переходів 1→3, 2→4 та 1→4, 2→3, виведено релятивістські тотожності Фірца на масовій поверхні, які зв’язують визначення амплітуд переходу, за спрощуючих припущеннях рівності мас усіх ферміонів та пружності розсіяння. Побудовано власні функції тотожностей Фірца, та продемонстровано переваги їх використання для автоматичного врахування вкладів від перехресних діаграм на прикладі Мелеровського розсіяння.

Предложена параметризация амплитуды рассеяния релятивистского фермиона на массовой поверхности набором 4 ковариантных амплитуд, которые в нерелятивистском пределе переходят в коэффициенты разложения матричной амплитуды по единичной матрице и матрицам Паули, а в ультрарелятивистском пределе – в симметризованные спиральные амплитуды. В общем релятивистском случае ковариантные амплитуды выражаются через шпуры от матричной амплитуды, помноженной на γ-матричные факторы степени не выше 3. Алгебраическое вычисление таких шпуров дает сравнительно короткий и полностью ковариантный путь расчета процессов рассеяния фермионов, с учетом всех поляризационных наблюдаемых. Для обобщения метода на задачи рассеяния двух фермионов, в условиях когда допустимы оба пути переходов 1→3, 2→4 и 1→4, 2→3, выведены релятивистские тождества Фирца на массовой поверхности, связывающие два возможных определения амплитуд перехода, при упрощающих предположениях равенства масс всех фермионов и упругости рассеяния. Построены собственные функции тождеств Фирца, и продемонстрированы преимущества их использования для автоматического учета вкладов от кросс-диаграмм на примере Меллеровского рассеяния.