On the Dirichlet problem for A-harmonic functions

Abstract

We study the Dirichlet boundary value problem with continuous boundary data for the A-harmonic equations div[A grad u] = 0 in an arbitrary bounded domain D of the complex plane С with no boundary component degenerated to a single point. We provide integral criteria, including the BMO and FMO criteria expressed in terms of A (z), for the existence of weak solutions to the problem. We also discuss the connections between A-harmonic functions and potential theory.

Для А-гармонічного рівняння досліджено задачу Діріхле з неперервними межовими даними в обмежених областях комплексної площини. Нами встановлені критерії існування слабких розв’язків поставленої задачі у довільній обмеженій області без вироджених межових компонент в сенсі розподiлiв, здійснених у термінах умов на матричний коефіцієнт рівняння типу BMO (функцій обмеженого середнього коливання) і FMO (функцій скінченного середнього коливання). Наведено також ряд інтегральних критеріїв типу Кальдерона—Зигмунда, Лехто та Орлича. Відповідні приклади показують, що умова невиродженості межових компонент області є не лише достатньою, але й необхідною умовою розв’язності задачі Діріхле навіть для гармонічних функцій. Останнє узгоджується з відомою умовою Вінера. Показано, що отримані розв’язки мають зображення у вигляді композиції гармонічних розв’язків відповідних задач Діріхле і регулярних гомеоморфних розв’язків рівнянь Бельтрамі всієї комплексної площини з відповідними комплексними коефіцієнтами, які задовольняють гідродинамічну умову нормування у нескінченно віддаленій точці.