Оценка решений переопределенных СЛАУ с неточно заданной правой частью

Abstract

Рассмотрены и исследованы методы решения переопределенных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), у которых основная матрица известна точно, а правая часть содержит погрешность. Предполагается, что покомпонентная погрешность является случайной величиной, принадлежащей малому ограниченному интервалу. При точных значениях правой части система имеет однозначное решение. В основу развиваемого подхода положено гарантированное оценивание интервалов принадлежности точного решения, по которым можно судить о качестве получаемых приближенных оценок решений. Эти гарантированные оценки используются при сравнении методов и оценивании их эффективности. По результатам численного моделирования сделан сравнительный анализ методов и даны рекомендации по их практическому применению.

Розглянуто та досліджено методи розв’язування перевизначених СЛАР, в яких основна матриця відома точно, а права частина містить похибку. Вважається, що покомпонентна похибка є випадковою величиною, яка належить малому обмеженому інтервалу. За точних значень правої частини система має однозначний розв’язок. В основу підходу, що розвивається, покладено гарантоване оцінювання інтервалів належності точного розв’язку, за якими можна робити висновок про якість одержуваних наближених оцінок розв’язків. Ці гарантовані оцінки використовуються для порівняння методів і оцінювання їхньої ефективності. За результатами чисельного моделювання зроблено порівняльний аналіз методів та наведено рекомендації щодо їхнього практичного застосування.

Methods of overdetermined SLAE solving when main matrix is precise and right side contains errors are considered and studied in the paper. It is assumed that each error of right side component is random but being bounded small interval. Under precise right side system has unique solution. The base of the developed approach is guarantee estimation of interval membership of the precise solution which may be used for quality estimation of the approximate solution. These guarantee estimation are namely applied for comparison and solution quality estimation of the solving methods to be considered. Results of numerical simulation make it possible doing methods comparative analysis and formulation of the recommendations on its practical application.