Дифференциально-алгебраические уравнения и динамические системы на многообразиях

Abstract

Рассмотрены актуальные проблемы современной теории динамических систем на многообразиях, активно развивающихся в настоящее время. Дан краткий обзор таких направлений теории динамических систем. С использованием алгебр дуальных чисел, кватернионных алгебр, алгебр бикватернионов (дуальных кватернионов) разработаны приложения к исследованию бесконечно малых окрестностей и инфинитезимальных деформаций многообразий (схем). Кратко представлены теория дифференциально-алгебраических уравнений над полем вещественных чисел и их динамика, а также элементы оптимизации траекторий соответствующих динамических систем. На основе связности в расслоениях дано расширение теории дифференциально-алгебраических уравнений на алгебраические многообразия и схемы над произвольными полями и схемами соответственно.

Розглянуто актуальні проблеми сучасної теорії динамічних систем на многовидах, які активно розвиваються на цей час. Наведено стислий огляд таких напрямів теорії динамічних систем. З використанням алгебр дуальних чисел, кватерніонних алгебр, алгебр бікватерніонів (дуальних кватерніонів) розроблено застосунки до дослідження нескінченно малих околиць та інфінітезимальних деформацій многовидів (схем). Стисло наведено теорію диференціально-алгебраїчних рівнянь над полем дійсних чисел та їхню динаміку, а також елементи оптимізації траєкторій відповідних динамічних систем. На основі зв’язності в розшаруваннях наведено розширення теорії диференціально-алгебраїчних рівнянь на алгебраїчні многовиди і схеми над довільними полями і схемами відповідно.

The authors consider actual problems of the modern theory of dynamical systems on manifolds, which are being actively developed. A brief review of the fields of the theory of dynamical systems is given. The results of the algebra of dual numbers, quaternionic algebra, biquaternions (dual quaternion) and their application to the study of infinitesimal neighborhoods and infinitesimal deformations of varieties (schemes) are presented. Summarized the theory of differential-algebraic equations over the field of real numbers and their dynamics, as well as relevant elements of trajectory optimization of dynamic systems. On the basis of the connection in the bundles, an extension of the theory of differential-algebraic equations to algebraic manifolds and schemes over, arbitrary fields and schemes, respectively, is given.