Однорідні еліптичні рівняння в розширеній соболєвській шкалі

Abstract

У розширеній соболєвській шкалі досліджено однорідні еліптичні диференціальні рівняння, розв'язки яких задовольняють досить загальні крайові умови. Ця шкала складається з ізотропних гільбертових просторів Хермандера, для яких показником регулярності служить довільна функція, RO-змінна на нескінченності за Авакумовичем. Встановлено теореми про характер розв’язності цих рівнянь і локальну регулярність (аж до межі області) їх розв’язків у вказаній шкалі. Дано явний опис усіх гільбертових просторів, інтерполяційних для пар підпросторів гільбертових просторів Соболєва, утворених розв'язками однорідного еліптичного рівняння.

В расширенной соболевской шкале исследованы однородные эллиптические дифференциальные уравнения, решения которых удовлетворяют общим краевым условиям. Эта шкала состоит из изотропных гильбертовых пространств Хермандера, для которых показателем регулярности служит произвольная функция, RO-меняющаяся на бесконечности по Авакумовичу. Установлены теоремы о характере разрешимости этих уравнений и локальной регулярности (вплоть до границы области) их решений в указанной шкале. Дано явное описание всех гильбертовых пространств, интерполяционных для пар подпространств гильбертовых пространств Соболева, образованных решениями однородного эллиптического уравнения.

In an extended Sobolev scale, we investigate homogeneous elliptic differential equations, whose solutions satisfy general enough boundary conditions. This scale consists of isotropic Hilbertian Hörmander spaces for which the regularity index is an arbitrary function RO-varying at infinity in the sense of Avakumović. We establish theorems on the character of solvability of these equations and the local regularity (up to the boundary of the domain) of their solutions in the scale indicated. We give an explicit description of all Hilbert spaces that are interpolation ones for pairs of subspaces of Hilbert Sobolev spaces formed by solutions of a homogeneous elliptic equation.