Generalizations of ⊕ -supplemented modules

Abstract

We introduce ⊕-radical supplemented modules and strongly ⊕-radical supplemented modules (briefly, srs⊕-modules) as proper generalizations of ⊕-supplemented modules. We prove that (1) a semilocal ring R is left perfect if and only if every left R-module is an ⊕-radical supplemented module; (2) a commutative ring R is an Artinian principal ideal ring if and only if every left R-module is a srs⊕-module; (3) over a local Dedekind domain, every ⊕-radical supplemented module is a srs⊕-module. Moreover, we completely determine the structure of these modules over local Dedekind domains.Введено поняття ⊕-радикальних доповнюваних модулiв та сильно ⊕-радикальних доповнюваних модулiв (скорочено srs⊕-модулiв) як вiдповiдних узагальнень ⊕-доповнюваних модулiв. Доведено, що: (1) напiвлокальне кiльце R є досконалим злiва тодi i тiльки тодi, коли кожен лiвий R-модуль є ⊕-радикальним доповнюваним модулем; (2) комутативне кiльце R є артiновим кiльцем головних iдеалiв тодi i тiльки тодi, коли кожен лiвий R-модуль є srs⊕-модулем; (3) над локальною дедекiндовою областю кожен ⊕-радикальний доповнюваний модуль є srs⊕-модулем. Повнiстю визначено структуру цих модулiв над локальними дедекiндовими областями.