О некоторых применениях в прикладной математике изометричности функциональных пространств

Abstract

Проблеми обчислювальної математики безпосередньо пов'язані з реалізацією математичних моделей в умовах обмеженої вихідної інформації. Особливо це проявляється, коли доводиться стикатися з різними ідеалізаціями реальних процесів, що в свою чергу змушує застосовувати дискретизацію неперервних змінних функцій, а також заміну всіх нескінченно малих і нескінченно великих величин деякими кінцевими величинами. Саме тому пошук математичного опису моделі або вибір з кількох можливих — це найскладніший і найвідповідальніший момент в моделюванні, оскільки в моделі може бути досить велика кількість зв’язків, частин, змінних, і вибір неправильного математичного опису для будь-якої з них може привести до повної або часткової непрацездатності моделі в цілому. Для опису взаємодій беруться заздалегідь відомі функціональні залежності. Одними з найцікавіших задач обчислювальної математики, що вимагають тонкого підходу до вибору як простору, в якому вирішується ця задача, можливості швидкого масштабування результатів з малої кількості параметрів значно більшу їх кількість змінних, якраз є задачі зближення–ухиляння в диференціальних іграх, задачі уникання або ухилення від зустрічі, задачі ухиляння від групи переслідувачів. При вирішенні цих задач і при прикладному використанні результатів для мінімізації надмірності обчислень, напевно, важливо вдало вибрати функціональний простір з можливими притаманними властивостями ізометрії. Вибір такого простору — окрема задача, що вимагає глибокого всебічного вивчення. Так свого часу детально були вивчені простори дійсних функцій від n + k змінних, ізометричні просторам дійсних функцій, заданих на n -вимірному евклідовому просторі. У даній роботі розглянуто ізометричні відображення просторів дійсних функцій від n + m змінних на простори дійсних від n змінних 2 -періодичних по кожній змінній, що, в свою чергу, сприятиме вивченню складних керованих систем, а також знаходженню оптимальних математичних моделей для них.

Problems of computational mathematics are directly connected with an implementation of mathematical models in conditions of limited initial information. This is especially evident when, during modeling, one encounters various idealizations of real processes which in turn forces one to apply discretization for functions of continuous variables, as well as replacing all infinitesimal and infinitely large quantities with some finite quantities. That is why the search for a mathematical description of the model or the choice between several possible ones is the most difficult and crucial moment in modeling, since the model may contain a sufficiently large number of connections, parts, variables and choosing the wrong mathematical description for any of them can yield a full or partial operability of the model as a whole. To describe the interactions one selects a priory known functional dependencies. One of the most interesting problems of computational mathematics that require a delicate approach to choosing both the space in which the problem is solved and its capability to quickly scale up the results from a small number of parameters to a much larger number of them, are exactly the problems of approach-evasion differential games, the problems of escape or evasion from a meeting, the problems of escape from a group of pursuers. In solving these problems and in applying the results to minimize redundancy of calculations, it is certainly important to appropriately select a functional space with possible inherent isometry properties. The choice of such space is a separate task requiring a deep comprehensive study. The spaces of real functions of n + k variables that are isometric to the spaces of real functions defined on the n - dimensional Euclidean space are already studied in detail. In this paper, isometric mappings are considered of the spaces of real functions of n + m variables into the spaces of real functions of n variables that are 2 -periodic in each variable, which in turn will contribute to the study of complex controlled systems, as well as finding an optimal mathematical models for such systems.