Применение в конечноэлементных расчетах модифицированного алгоритма метода сопряженных градиентов

Abstract

Для решения систем линейных алгебраических уравнений методом конечных элементов рассматривается обобщенный метод сопряженных градиентов с переобусловливающей матрицей, построенной с помощью матрицы перехода для метода симметричной верхней релаксации. Показана возможность двукратного ускорения итерационного алгоритма. Представлены численные результаты анализа скорости сходимости итерационного процесса при решении двухмерных модельных задач теории упругости и линейной механики разрушения с использованием классического и модифицированного алгоритма метода сопряженных градиентов с переобусловливающей матрицей метода симметричной верхней релаксации.

Для розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом скінченних елементів розглядається узагальнений метод спряжених градієнтів із переобумовлюваною матрицею, що побудована за допомогою матриці переходу для методу симетричної верхньої релаксації. Показано можливість двократного прискорення ітераційного алгоритму. Наведено чисельні результати аналізу швидкості збіжності ітераційного процесу при розв’язанні двовимірних модельних задач теорії пружності та лінійної механіки руйнування з використанням класичного і модифікованого алгоритму методу спряжених градієнтів із переобумовлюваною матрицею методу симетричної верхньої релаксації.

For solution of a system of linear algebraic equations by the finite element method we propose to apply the generalized method of conjugated gradients with re-conditioning matrix constructed using a transformation matrix for the method of symmetrical upper stress relaxation. We show the possibility of twofold acceleration of the iteration algorithm. Numerical results of the iteration process convergence rate are presented for solution of two-dimensional model problems of the theory of elasticity and linear fracture mechanics with application of classical and modified algorithms of the method of conjugated gradients with re-conditioning matrix of the method of symmetrical upper stress relaxation.