Аналітичний розв’язок некоректних задач динамічними методами

Abstract

Апроксимація неперервних диференційних та інтегральних рівнянь скінченними дискретними алгебраїчними системами, локальна лінеаризація систем нелінійних рівнянь за заданою інформацією у разі вирішення обернених задач зводиться до задач розв’язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Матриці таких систем зазвичай є погано обумовленими, тому задачі розв’язання таких систем є некоректними, оскільки порушується третя умова коректності за Адамаром. Для розв’язання некоректних задач запропоновано динамічний метод регуляризації [1]. З метою зменшення часу роботи алгоритму, що пропонується динамічним методом запропоновано модифікований метод — динамічний метод другого порядку. Розроблено математичний апарат та на його основі запропоновано алгоритм для модифікованого методу, а також показано його ефективність на практичному прикладі.

Апроксимация непрерывних дифференциальных и интегральных уравнений конечными дискретними алгебраическими системами, локальная линеаризация нелинейных уравнений по заданой информации при решении обратных задач сводятся к задачам решения систем линейных алгебраических уравнений. Матрицы таких систем обычно плохо обусловлены, поэтому задачи их решения некоректны, поскольку нарушается третье условие коректности по Адамару. Для решений некоретных систем предложен динамический метод регуляризации некоректных задач [1]. С целью уменьшения времени работы алгоритма, который предлагается динамическим методом, предложен модифицированный метод — динамический метод второго порядка. Разработан математический аппарат и на его основании предложен алгоритм для модифицированного метода, а также показана эго эффективность на практическом примере.

The inverse problems of continuous differential and integral equations approximation with finite discrete algebraic systems and the problems of local linearization of nonlinear equations by the provided information are reduced to solving the linear algebraic systems. Matrices of such systems are usually ill-conditioned due to ill-posed problems according to Hadamard correctness. As a solution to these problems a dynamical method for regularization was proposed [1]. In order to reduce the computation time of the algorithm, a second order modification of the dynamical method is proposed. This paper provides mathematical tools based on this method. A practical example shows its effectiveness.