До теорем Скитовича - Дармуа та Хейде у банаховому просторі

Abstract

Известная теорема Скитовича - Дармуа утверждает, что из независимости двух линейных форм от независимых случайных величин с ненулевыми коэффициентами следует, что случайные величины являются гауссовыми. Этот результат был обобщен Краковяком для случайных величин со значениями в банаховом пространстве, когда коэффициентами форм являются непрерывные оборотные операторы. В первой части работы приведено новое доказательство теоремы Скитовича - Дармуа в банаховом пространстве. Хейде доказал близкую к теореме Скитовича - Дармуа характеризационную теорему, в которой вместо независимости линейных форм предполагалось, что условное распределение одной линейной формы при фиксированной другой является симметричным. Во второй части работы доказан аналог теоремы Хейде в банаховом пространстве.

By the well-known Skitovich – Darmois theorem, the independence of two linear forms of independent random variables with nonzero coefficients implies that the random variables are Gaussian variables. This result was generalized by Krakowiak to the case of random variables with values in a Banach space, where coefficients of the forms are continuous invertible operators. In the first part of the paper, we give a new proof of the Skitovich – Darmois theorem for a Banach space. Heyde proved another characterization theorem of a Gaussian distribution similar to the Skitovich – Darmois theorem, where, instead of the independence of linear forms it is assumed that the conditional distribution of one of linear forms is symmetrical if another form is fixed. In the second part of the paper, we prove an analog of the Heyde theorem for a Banach space.