Регуляризованный адаптивный экстрапроксимальный алгоритм для задачи о равновесии в пространствах адамара

Abstract

Одним із напрямків сучасного прикладного нелінійного аналізу, що інтенсивно розвивається, є дослідження задач про рівновагу, відомих як нерівності Кі Фаня, задачі рівноважного програмування. У вигляді задачі про рівновагу можна сформулювати варіаційні нерівності, задачі математичного програмування, пошук рівноваги Неша. Останнім часом виник обумовлений проблемами математичної біології та машинного навчання інтерес до побудови теорії та алгоритмів розв’язання задач математичного програмування в метричних просторах Адамара. У даній роботі розглядаються загальні задачі про рівновагу в метричних просторах Адамара. Для наближеного розв’язання задач запропоновано та досліджено новий ітераційний регуляризований адаптивний екстрапроксимальний алгоритм. На відміну від правил вибору величини кроку, що застосовувалися раніше, в запропонованому алгоритмі не проводиться обчислень значень біфункції в додаткових точках та не потрібно знання про величину її ліпшіцевих констант. Для регуляризації базової екстрапроксимальної схеми використано класичну схему Гальперна. Для псевдомонотонних біфункцій ліпшіцевого типу доведено теорему про збіжність породжених алгоритмом послідовностей. Доведення засновано на використанні фейєрівської властивості екстрапроксимального алгоритму відносно множини розв’язків задачі та відомих результатів про збіжність схеми Гальперна. Показано, що запропонований алгоритм можна застосувати до псевдомонотонних варіаційних нерівностей в гільбертових просторах.

One of the intensively developing areas of modern applied nonlinear analysis is the study of equilibrium problems, also known as Ky Fan inequalities, equilibrium programming problems. In the form of an equilibrium problem, one can formulate variational inequalities, mathematical programming problems, and many game theory problems (search of Nash equilibrium). Recently, interest has arisen due to the problems of mathematical biology and machine learning to construct the theory and algorithms for solving mathematical programming problems in Hadamard metric spaces. In this paper, we consider equilibrium problems in Hadamard metric spaces. For an approximate solution of problems, a new iterative regularized adaptive extra-proximal algorithm is proposed and studied. In contrast to the previously used rules for choosing the step size, the proposed algorithm does not calculate bifunction values at additional points and does not require knowledge of information on of bifunction’s Lipschitz constants. For regularization of basic extrproximal scheme, the classic Halpern scheme is used. For pseudomonotone bifunctions of Lipschitz type, the theorem on convergence of sequences generated by the algorithm is proved. The proof is based on the use of the Fejer property of the extraproximal algorithm with respect to the set of solutions of problem and known results on the convergence of the Halpern scheme. It is shown that the proposed algorithm is applicable to pseudo-monotone variational inequalities in Hilbert spaces.