О множествах, на которых функции с нулевыми интегралами по шарам допускают произвольное поведение

Abstract

Доказано, что произвольная интегрируемая в квадрате функция, определенная на замкнутом множестве диаметра ≤ 2r отличном от шара радиуса r, продолжается до функции с нулевыми интегралами по шарам радиуса r, определенной на всем Rⁿ. Если внутренность множества содержит две точки, удаленные на расстояние 2r, такое продолжение может не иметь места. Получен аналогичный результат для функций с нулевыми интегралами по сферам радиуса r.

It is proved that an arbitrary square-integrable function defined on an closed set of diameter ≤ 2r, which is distinct from ball of radius r, continues to locally square-integrable function with zero integrals over balls of radius r defined on the whole Rⁿ. If internal of the set contains two point at the distance 2r such continuation may not occur. An analogous result for functions with zero integrals over spheres of radius r is obtained.