Два підходи до побудови оптимальних числових методів другого порядку та їх застосування до аналізу нелінійних систем коливної природи

Abstract

Запропоновано iтерацiйний та прямий пiдходи до мiнiмiзацiї похибки дискретизацiї числових методiв другого порядку. Iтерацiйний пiдхiд грунтується на модифiкацiї методу трапецiй i встановленнi моменту часу, коли внески явного i неявного методiв Ейлера мають однаковий внесок до поправки для наступної точки дискретизацiї динамiчної системи. При комбiнуваннi отриманої формули з методом трапецiї показано можливiсть побудови оптимального за точнiстю числового методу. Прямий пiдхiд грунтується на встановленнi моменту часу, коли дотичнi, проведенi до сусiднiх точок дискретизацiї неперервної системи, перетинаються, що забезпечує нульову похибку дискретизацiї. Пiдтверджено доцiльнiсть їх застосування до аналiзу нелiнiйних динамiчних систем коливної природи з малим коефiцiєнтом загасання, тривалими перехiдними процесами та високою добротнiстю.

Предложены итерационный и прямой подходы к минимизации погрешности дискретизации численных методов второго порядка. Итерационный подход основан на модификации метода трапеций и установлении момента времени, когда явный и неявный методы Эйлера имеют одинаковый вклад в поправки для следующей точки дискретизации динамической системы. При комбинировании полученной формулы с методом трапеции показана возможность построения оптимального по точности численного метода. Прямой подход основывается на установлении момента времени, когда касательные, проведенные в соседние точки дискретизации непрерывной системы, пересекаются, что обеспечивает нулевую погрешность дискретизации. Подтверждена целесообразность их применения к анализу нелинейных динамических систем колеблющейся природы с малым коэффициентом затухания, длительными переходными процессами и высокой добротностью.

Iterative and direct approaches to the minimization of errors at a discretization of second-order numerical methods are proposed. The iterative approach is based on a modification of the method of trapezoids and setting the time when the explicit and implicit Euler methods give the same contribution to the amendment to the next discretization point of a dynamical system. Combining the derived formula with the method of trapezoids, the possibility of constructing the optimal precision numerical method is shown. The direct approach is based on determining a time when the tangents drawn to the nearby points of discretization of the continuous system intersect, which provides the zero error of a discretization. The expediency of their application to the analysis of nonlinear dynamical oscillatory systems with a low coefficient of attenuation, long transients, and high power is confirmed.