Задача о тени для областей на плоскости

Abstract

В работе исследуется задача о тени, обобщенная на области пространства R². Под задачей о тени в Rⁿ подразумевается нахождение минимального количества шаров, удовлетворяющих некоторым условиям, и таких, что каждая прямая, проходящая через заданную точку, пересечет хотя бы один шар из набора. Доказано, что для того, чтобы создать тень в каждой фиксированной точке произвольной области на плоскости набором замкнутых или открытых не пересекающихся кругов, которые не содержат заданную точку и с центрами на границе области, необходимо и достаточно двух таких кругов.

У роботі досліджується задача про тінь, узагальнена на області простору R². Під задачею про тінь в Rⁿ тут мається на увазі знаходження мінімального числа куль, що задовільняють деяким умовам, і таких, що кожна пряма, що проходить через дану точку, перетне принаймні одну кулю з набору. Доведено, що для того, щоб створити тінь в кожній фіксованій точці довільної області на площині набором замкнених або відкрити кругів, які не перетинаються, не містять дану точку та з центрами на межі області, необхідно та достатньо двох таких кругів.

іn the present work, the problem about shadow, generalized on domains of space R² is investigated. Here the shadow problem in Rⁿ means to find the minimal number of balls satisfying some conditions an such that every line passing through the given point intersects at least one ball of the collection. it is proved that to generate the shadow at every given point of any domain of the plane with collection of mutually non-overlapping closed or open circles which do not hold the point and with centers on the boundary of the domain, it is necessary and sufficient to have two circles.