Сравнительный анализ двух вариационных моделей в нелинейной теории относительного движения жидкости

Abstract

Сравниваются модели динамики жидкости, построенные на основе вариационного принципа Бейтмена-Люка-Уизема. Тестовой является задача о нелинейных колебаниях идеальной однородной несжимаемой жидкости в вертикальном круговом цилиндре, совершающем произвольное поступательное движение в поле силы тяжести. В основу одной из моделей, называемой гамильтоновой, положены точные интегро-дифференциальные уравнения типа Гамильтона, а в основу другой, назывемой 5-модовой - обыкновенные дифференциальные уравненния с полиномиальными коэффициентами. Анализируются и сопоставляются исходные соотношения моделей, устанавливается связь между ними. Приведен подробный вывод уравнений 5-модовой модели, активно применяемой в последнее время. Численно решается задача о колебаниях свободной поверхности жидкости в равномерно ускоряемом из состояния покоя баке. Сравниваются результаты расчетов обобщенных координат и ординат свободной поверхности. Приведены оценки взвешенной средней квадратической ошибки и относительных погрешностей расчетов по гамильтоновой модели относительно 5-модовой. Отмечены случаи существенных расхождений в расчетах по этим моделям.

Порiвнюються моделi динамiки рiдини, побудованi на основi варiацiйного принципу Бейтмена-Люка-Уiзема. Тестовою є задача про нелiнiйнi коливання iдеальної однорiдної нестсливої рiдини у вертикальному круговому цилiндрi, що здiйснює довiльнi поступальнi рухи у полi сил тяжiння. В основу однiєї з моделей, яку названо гамiльтоновою, покладенi точнi нтегро-диференцiйнi рiвняння типу Гамiльтона, а в основу другої, яку названо 5-модовою - звичайнi диференцiйнi рiвняння з полiномiальними коэфiцiєнтами. Аналчзуються та спiвставляються вихiднi спiввiдношення моделей, встановлюється зв'язок мiж ними. Наведено докладне виведення рiвнянь 5-модової моделї, що активно застосовуються останнiм часом. Чисельно розв'язується задача про коливання вiльної поверхнi рiдини у бацi, який рiвномiрно прискорюється з стану спокою. Порчвнюються результати обчислень узагальнених координат та ординат вiльної поверхнi. Наведено оцiнки середньої квадратичної похибки та вiдносних похибок розрахункiв за гамiльтоновою моделлю вiдносно 5-модової. Зазначено випадки суттєвих розбiжностей у розрахунках за цими моделями.

Two fluid dynamics models constructed on the base of the variational Bateman-Luke-Whithem\ principle are compared. As a test problem, it is considered the problem of the nonlinear sloshing of an inviscid homogeneous incompressible liquid that partially fills a vertical circular cylinder performing an arbitrary translational movement. One of the model named Hamiltonian is based on the exact ordinary integro-differential Hamiltonian type equations and the other named 5-modal is based on the ordinary differential equations with the polinomial coefficients. The input models equations are ahalyzed and compared and the relations between them are established. A detailed derivation of the 5-modal equations actively used at the present time are carried out. Numerically it is solved a problem of the liquid free surface vibrations inside the uniformly accelerated tank which was in the state position initially. The numerical results for the generalized fluid coordinates and the free surface ordinates are compared. The estimates of the weighted mean square errors and relative errors of the calculations according to Hamiltonian model with respect to 5-model are given. The cases of the essential discrepancies in the calculations according to this model are noted.