Скорость сходимости рядов Фурье на классах ψ¯-интегралов

Abstract

Вводиться поняття ψ¯¯¯-інтегралів 2π-періодичних сумовиих функцій f, f ε L, на основі якого проводиться розбиття простору L на підмножини (класи) Lψ¯¯¯¯. Одержані інтегральні зображення відхилень тригонометричних поліномів Un(f;x;Λ), що породжуються даним Λ-методом підсумовування рядів Фур'є від функцій fεLψ¯, і на їх основі досліджується швидкість збіжності рядів Фур'є для функцій із множин Lψ¯ в рівномірній та інтегральних метриках. В цьому напрямі, зокрема, знайдені асимптотичні рівності для верхніх меж відхилень сум Фур'є на множинах Lψ¯ у які дають розв'язки задачі Колмогорова—Нікольського, а також одержано аналог відомої нерівності Лебега.

We introduce the notion of Ψ¯ -integrals of 2π-periodic summable functions f, f ε L, on the basis of which the space L is decomposed into subsets (classes) LΨ¯ . We obtain integral representations of deviations of the trigonometric polynomials U n(f;x;Λ) generated by a given Λ-method for summing the Fourier series of functions f ε LΨ¯ . On the basis of these representations, the rate of convergence of the Fourier series is studied for functions belonging to the sets LΨ¯ in uniform and integral metrics. Within the framework of this approach, we find, in particular, asymptotic equalities for upper bounds of deviations of the Fourier sums on the sets LΨ¯ , which give solutions of the Kolmogorov-Nikol'skii problem. We also obtain an analog of the well-known Lebesgue inequality.