Осцилляционные свойства решений задачи Штурма–Лиувилля с сингулярным коэффициентом

Abstract

Дослiджено осциляцiйнi властивостi нетривiальних розв’язкiв рiвняння Штурма–Лiувiлля iз сингулярним дiйсним коефiцiєнтом з негативного простору Соболєва W2^−1 [a, b]. Знайдено аналоги класичних теорем Штурма про чергування, порiвняння та осциляцiю. Встановлено, що число вiд’ємних власних значень крайової задачi Дiрiхле дорiвнює числу нулiв у iнтервалi (a, b) нетривiального розв’язку y(x) однорiдного рiвняння з умовою y(a) = 0.We study oscillation properties of non-trivial solutions of the Sturm–Liouville equation with a singular real-valued coefficient from the negative Sobolev space W2^−1 [a, b]. Analogs of the classical Sturm theorems about interlacing, comparison, and oscillation are found. The number of negative eigenvalues of the Dirichlet boundary-value problem is found equal to the number of zeros in the interval (a, b) of a non-trivial solution y(x) of the homogeneous equation with the condition y(a) = 0.