On Generalized Hardy Sums s₅(h, k)

Abstract

The aim of this paper is to study generalized Hardy sums s₅(h, k). By using mediants and the adjacent difference of Farey fractions, we establish a relationship between s₅(h, k) and Farey fractions. Using generalized Dedekind sums and a generalized periodic Bernoulli function, we define generalized Hardy sums s₅,p(h,k). A relationship between s₅,p(h, k) and the Hurwitz zeta function is established. By using the definitions of Lambert series and cotπz, we establish a relationship between s₅(h,k) and Lambert series.

Метою даної статты є вивчення узагальнених сум Харді s₅(h,k). На основі використання медіант та суміжної різниці дробів Фейрі (Farey) встановлено зв'язки між сумами s₅(h,k) і дробами Фейрі. Узагальнені суми Харді s₅(h,k) визначено із застосуванням узагальнених дедекіпдових сум та узагальненої періодичної функції Бернуллі. Встановлено зв'язок між сумами s₅(h,k) та дзета-функцією Гурвіца. На основі визначені, рядів Ламбер та cotπz знайдено співвідношення між s₅(h,k) та рядами Ламберта.