О существовании гладкого решения задачи со свободной границей для квазилинейного параболического уравнения с разрывными коэффициентами

Abstract

Розглянуто задачу з вiльною межею, яка виникає при вивченнi квазiлiнiйного параболiчного рiвняння другого порядку з розривними коефiцiєнтами та правою частиною. При цьому розрив коефiцiєнтiв i правої частини вiдбувається за певного фiксованого значення невiдомої функцiї. Таким чином, геометричний iнтерфейс розриву є одним з головних невiдомих задачi. Доведено гладкiсть цього iнтерфейсу розриву та гладкiсть розв’язку в кожнiй iз замкнених пiдобластей гладкостi коефiцiєнтiв.

We study a free boundary problem which arises in studying the quasilinear parabolic equation of the second order with discontinuous coefficients and the right-hand side which are discontinuous at some fixed value of the unknown function. Thus, the geometric interface of the discontinuity is one of the principal unknowns of the problem. We prove that the interface itself is smooth, and the solution is smooth in each closed subregion, where the coefficients are smooth down to the interface.